Чему равна сумма углов трапеции

Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие - не параллельны. Сумма внутренних углов любой трапеции, как и любого четырехугольника, имеет постоянное значение.

Основная теорема о сумме углов трапеции

Сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов. Это свойство вытекает из общей теоремы о сумме углов выпуклого n-угольника, которая определяется формулой: 180° × (n - 2), где n - количество сторон.

Особенности углов в разных видах трапеций

Произвольная трапеция

В произвольной трапеции сумма углов, прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180°:

• ∠A + ∠D = 180°
• ∠B + ∠C = 180°

Равнобедренная трапеция

В равнобедренной трапеции:

• Углы при основании равны: ∠A = ∠D и ∠B = ∠C
• Каждый угол при большем основании меньше 180°

Прямоугольная трапеция

В прямоугольной трапеции:

• Два угла являются прямыми (90°)
• Сумма оставшихся двух углов равна 180°

Доказательство теоремы

Рассмотрим два способа доказательства:

1. Через разбиение на треугольники:

   Проведем диагональ трапеции, разделяя ее на два треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, значит общая сумма 180° × 2 = 360°.

2. Через сумму углов многоугольника:

   Используем формулу для суммы углов n-угольника: S = 180° × (n - 2). Для трапеции (n=4): S = 180° × (4 - 2) = 360°.

Пример расчета

Дана трапеция ABCD с углами: ∠A = 70°, ∠B = 110°, ∠C = 80°. Найти ∠D.

Решение: 70° + 110° + 80° + ∠D = 360° → ∠D = 360° - 260° = 100°

Практическое применение

Знание суммы углов трапеции позволяет:

• Решать геометрические задачи на вычисление неизвестных углов
• Проверять правильность построения трапеций
• Конструировать детали в технических чертежах

Таким образом, сумма внутренних углов любой трапеции всегда составляет 360 градусов, что является фундаментальным свойством этого четырехугольника.